Игорь Каляпин родился 13 октября 1967 года в городе Горький, ныне Нижний Новгород. В 1984 году окончил школу, поступил на физико-технический факультет Политехнического института. В 1986-88 годах проходил срочную службу в армии. В 1988-м поступил на вечернее отделение радиофизического факультета Политехнического института и на работу в Горьковский институт химии Академии наук СССР. В 1989 году начал принимать активное участие в демократическом движении Нижнего Новгорода. Являлся одним из руководителей нижегородского отделения «Демократического союза», тогда же выступил одним из учредителей Нижегородского общества прав человека. С 1997 по 2000 годы руководил информационно-аналитическим центром этой организации. С 1998 года стал уделять особое внимание проблеме применения пыток. В 1998 году его центр впервые подготовил доклад о применении пыток на территории Нижегородской области, который вызвал значительный резонанс в региональных медиа. В 2000 году Каляпин стал инициатором создания и руководителем специализированной неправительственной организации «Комитет против пыток» (организация без образования юрлица, не имеет отношения к межрегиональной общественной организации «Комитет против пыток», признанной иностранным агентом).