Эту задачу нашла в социальных сетях, потом рассказала студентам заочникам в декабре 2012 года, она им понравилась. Предлагаю и вам решить эту задачу.
Проверяется человек на употребление наркотиков. Надежность теста 99 процентов. Степень распространения наркотиков по оценкам экспертов примерно 1,7%. Тест выявил наличие наркотиков и делается вывод, что человек употребляет наркотики. Какова вероятность того, что этот вывод является ошибочным?
Комментарии (21)
Мы решили временно отключить возможность комментариев на нашем сайте.
Хм)) Странная задачка, если надежность теста понимать как вероятность достоверности. Предлагаю другую... Попроще: Человек написал пять писем: в Проуратуру, Наркоконтроль, ФСБ, Следственный комитет и бабушке. Но письма в конверты вкладывал в темноте. Какова вероятность, что одно из них придет не по адресу?
.
Неверно. Ответ намного больше, чем вы думаете.
Если это ответ на мою задачку, то неверно. Потому что если бабушка получила писмьо прокурору, то и, как минимум, прокурор свое тоже не получил. Ответ - 0.
К единичному произошедшему случаю теорема Бейлиса не применяется. Значит, неправильно сформулирован вопрос. Вывод об употреблении наркотиков конкретным проверенным человеком может быть сделан только на базе установленной надежности теста.
Так все цифры даны. Другое дело, что степень распространения наркоманов неизвестен, как правило. Поэтому используют оценки экспертов. К единичному случаю теорема может применяться, почем нет? Главное знать необходимые данные.
Она применяется к статистической выборке. Это не теория вероятности, а матстатистика... 1,7% - это матожидание. К конкретному случаю с установленной априори надежностью прибора никакого отношения. Вот если бы сформулировали вопрос, например, так:
у 10-ти из 100 проверенный прибор показал наличие наркотиков. Среднестатистическое 1,7. Надежность 0,99. Какова вероятность ошибки? Ну... тут уже можно считать.
Не уходите от ответа. Ответ в 1 процент неверен. Правильный ответ во много раз больше.
Это чересчур простая задача.
Под надежностью теста в 99 % считается, что в 99 случаях из 100 он дает правильный ответ, но в 1 случае из 100 ошибается.
Чтобы получить ложноположительный результат анализа нужно, чтобы произошло друг за другом 2 события:
1. тестируемый должен быть чист (р1=0,983);
2. тест должен дать сбой (р2=0,01).
Поскольку эти 2 события должны произойти вместе, то результат получится 0,00983, т.е. чуть меньше 1%.
Нет, Григорий, ответ неверен. Вероятность ошибки больше 50 процентов. Применять надо формулы полной вероятности и формулу Байеса. Событие (наркотик в анализе) уже произошла. Я сама была удивлена такими цифрами. Именно поэтому нужна очень высокая надежность теста. Для алкотестера все нормально, то есть ошибка примерна равна ошибке прибора, то есть действительно около 1 процента. С наркотиками не так, потому что невысокая степень распространения ( но ведь это и не нужно, не так ли?) Можно поставить задачу и наоборот.Провести серию анализов и затем снова проверить на ошибки и по полученным ошибкам оценить степень распространения наркотиков.
Григорий, вы забыли, что тест может ошибиться и относительно здорового человека и относительно наркомана. Поэтому теорема умножения вероятностей здесь не работает.
Существует 4 события:
1. Верный отрицательный результат;
2. Верный положительный результат;
3. Ложноотрицательный результат (когда наркоман не зафиксирован);
4. Ложноположительный результат (когда подозрение пало на чистого человека).
Вероятности случаев:
1. 0,983*0,99=0,97317
2. 0,017*0,99=0,01683
3. 0,017*0,01=0,00017
4. 0,983*0,01=0,00983
Проверяем сумму, получаем 1, т.е. полный набор.
Георгий, вы формулу полной вероятности знаете? А формулу Байеса? Это задача на применение формулы Байеса? Ответ при данных параметрах около 50 процентов (чуть меньше). Тут надо считать условную вероятность. Ведь анализ уже положительный. Надо посчитать какова вероятность получить такой положительный анализ ( формула вероятности), затем вычислить вероятность, когда подозрение пало на чистого человека и затем одно (второе в комментарии) разделить на полную вероятность. Здесь фишка состоит в том, что ответ зависит существенно от степени распространения. Чем больше степень распространения, тем меньше ошибка, но ведь в случае наркотиков такое нам не нужно, не так ли?
Григорий, вы правильно перечислили все возможные случаи. Но здесь это не сработает.
Значит, вся хитрость в формулировке задачи.
Сложите 2 цифру и 4 - это формула полной вероятности - вероятность того, что анализ покажет наличие наркотика. Условная вероятность обнаружения наркотика у невиновного равна 4 цифре. Вероятность того, что результат ошибочен равен отношению 4 цифры к сумме 2 и 4 цифр. Григорий, математику надо знать. ее в вузах проходят. Я же давала наводки. Хитрость не в формулировке задачи, а в том, что большинство людей не понимают какую формулу можно применять, а какую нельзя. Интересно, многие ли доктора геолого-минералогических наук смогут ее решить? Неплохо было бы такую задачу разместить в Вестнике ИГ, почему бы и нет?
Число, полученное вами, только одно слагаемое, есть еще и другое слагаемое.
97,317
? Это в процентах? Неверно.
В реальной жизни ситуация сложней. Как правило, вероятность не распознать заболевание у больного и вероятность найти заболевание у здорового это разные величины. Найти заболевание у здорового в нормальных тестах существенно ниже, чем не распознать заболевание. В этой же задаче подразумевается, что они совпадают. В этом случае, тест становится критичным к соотношению между процентом больных и процентом ошибочных диагнозов. Нужно, чтобы они отличались хотя бы на порядок. А здесь сопоставимые величины - 1,7% и 1%